2. Установление логического значения сложных суждений при помощи таблиц истинности.

Сложные суждения – суждения, состоящие из нескольких простых суждений, связанных между собой логическими союзами. Именно по ним определяют вид и логические характеристики, условия истинности сложного суждения.

Построение таблиц истинности проходит через построение логических функций и имеет параллели с математическими функциями. То есть простому суждению присваивается переменная, которая может принимать только два значения: логическая единица (1 – истина) или логический нуль (0 – ложь).

Всего существует пять логических союзов: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность.

Из перечисленных союзов унарным является отрицание

"не", "неверно, что".

Оно символически изображается знаком "" и имеет таблицу истинности:

При составлении через логическую функцию таблица истинности для инверсии будет иметь вид:

Логика выделяет четыре вида сложного суждения с бинарными (парными) союзами:

соединительный союз (конъюнкция)

"и", "а", "но", "да" и т.п. ;

разделительный союз (дизъюнкция)

"или", "либо" и т.п.;

условный союз (импликация)

"если.., то";

союз эквивалентности , тождественности (эквивалентность)

"если и только если.., то", "тогда и только тогда, когда".

Соединительный вид (конъюнкция)

Два или более простых суждения могут образовывать сложное с помощью соединительного союза («а », «но », «да », «и » и др.), который символически изображается знаком "&".

Например: "Сегодня воскресенье, и мы едем за город".

Это конъюнктивное суждение можно записать в виде формулы: (S есть Р) и (S есть Р), или p & q .

Разновидность конъюнктивного суждения:

Суждение со сложным субъектом : S1, S 2, S 3 есть Р

Например: «Описание, сравнение, характеристика являются основными видами неявных определений»

Суждение со сложным предикатом : S есть Р1 и Р2

Например: «БГУИР – знания и стиль жизни»

Суждение со сложным субъектом и предикатом : S1, S 2, S 3 есть Р1 и Р2

Например: «Инженеры, программисты, экономисты являются выпускниками нашего ВУЗа и сотрудниками многих предприятий »

Конъюнкция может выражать :

▫ Одновременность «Закончилась лекция и прозвенел звонок»

▫ Последовательность «Студент прослушал лекцию, написал курсовую работу и защитил её»

▫ Перечисление «Реферат, курсовая работа, диплом – являются видами студенческих научных работ»

▫ Расположенность «Корпус приёмной комиссии БГУИР находился справа, а корпус заочного отделения - слева»

Поскольку простое суждение по природе своей может быть либо истинным, либо ложным, то основные зависимости сложного конъюнктивного суждения будут определяться его логическим союзом. Эти зависимости легко обнаруживаются в разработанных логикой так называемых "таблицах истинности" для логических союзов.

Для конъюнкции таблица истинности такова:

При составлении через логическую функцию таблица истинности для конъюнкции будет иметь вид:

			Функция умножения: F = A * B

Разъединительный вид (дизъюнкция)

Два или более простых суждения могут образовывать сложное и с помощью разделительного логического союза («либо…либо», «или» и др). С его помощью можно образовать, например, такое сложное разделительное суждение: "Леса на территории нашей страны являются лиственными или хвойными или смешанными". Это суждение записывается в виде формулы: (S есть Р) v (S есть Р), или p v q .

В логике различают два значения разделительного (дизъюнктивного) союза: разделительно-соединительный (слабая дизъюнкция ) p v q

Например: «Каждый студент знает фамилию ректора БГУИР или хотя бы название своего факультета»

Строго разделительный союз (строгая, или сильная дизъюнкция ). p v q

Дизъюнкция может выражать :

▫ Выбор «То ли занятия, то ли перерыв»

▫ Альтернативу «Допуском к экзамену послужит либо заданная контрольная работа, либо тестирование»

Слабая дизъюнкция не запрещает, не исключает одновременную истинность простых суждений, входящих в это сложное. Так, приведенное выше суждение "Леса бывают лиственными или хвойными или смешанными" являет собой образец слабой дизъюнкции: в данном случае союз "или" не только разъединяет, но и соединяет, допуская наличие перечисленных трех признаков у одного и того же леса.

Зато сильная (строгая) дизъюнкция исключает одновременную истинность простых суждений, входящих в сложное. Так, в суждении "Данное животное есть волк или медведь" союз "или" выполняет строго разделительную роль; одновременно данное животное тем и другим быть не может.

Для слабой дизъюнкции , таблица истинности такова:

При составлении через логическую функцию таблица истинности для слабой дизъюнкции будет иметь вид:

Для сильной дизъюнкции , таблица истинности такова:

При составлении через логическую функцию таблица истинности для сильной дизъюнкции будет иметь вид:

Эквивалентный вид (эквиваленция)

Два или более простых суждения могут образовывать сложное с помощью взаимообусловливающего (тождественного) союза («если и только если », «тогда и только тогда» ), который символически изображается знаком «≡». Этот союз формирует сложное суждение, по истинностной своей характеристике противоположное суждению строгой дизъюнкции. Дело в том, что и этот союз дает сложное суждение, истинное только в двух случаях, когда либо все входящие в сложное простые суждения являются истинными, либо все являются ложными. Например, "Треугольники имеют равные углы тогда и только тогда, когда и стороны их равны", или "Если и только если углы треугольника равны, то и стороны его тоже равны".

Это суждение записывается в виде формулы: (S есть Р) ≡ (S есть Р), или p ≡q .

Например: «Стать студентом БГУИР можно тогда и только тогда, когда ….»

Таблица истинности для эквиваленции :

При составлении через логическую функцию таблица истинности для эквиваленции будет иметь вид:

Условный вид (импликация)

Два или более простых суждения могут образовывать сложное с помощью условного союза («если…, то », «когда…, тогда » и др.), который символически изображается знаком "→".

Это суждение можно записать в виде формулы: (S есть Р) → (S есть Р), или p →q .

Например: «Если вы выполнили контрольную работу до звонка, то вы можете сдать её раньше».

Образованное таким образом сложное условное суждение состоит из двух элементов :

·антецедент (основание) (простое суждение, которое заключено между союзом "если" и частицей "то")

·консеквент (следствие) (простое суждение, следующее после частицы "то").

Импликация может выражать :

▫ Причинно-следственную связь «Если лампу выключить из сети, то она погаснет»

▫ Обоснование «Поскольку вывод в лабораторной работе не сделан, постольку работа не считается зачтённой»

Таблица истинности для импликации :

При составлении через логическую функцию таблица истинности для импликации будет иметь вид:

Традиционная формальная логика рассматривает структуру сложных суждений, как такую мыслительную конструкцию, элементы которой связаны между собой по смыслу. Правда, она не делает отношения между сложными суждениями предметом своего обстоятельного исследования. Можно в качестве исключения говорить лишь о рассматриваемых традиционной логикой отношениях и связях между условным и разделительным суждениями, но традиционная логика рассматривает их в качестве элементов более сложной формы мысли - умозаключения, как условно-разделительный силлогизм.

Отношения между четырьмя видами сложных суждений - предмет современной формальной (математической, или символической) логики. Она анализирует и устанавливает закономерные зависимости между сложными суждениями и даже имеет целый список так называемых формул равносильностей, когда сложные суждения с одним логическим союзом по своему истинностному значению тождественны другим сложным суждениям с другими логическими союзами. То есть речь идет о взаимозаменяемости логических союзов. Так, эквивалентность может быть выражена импликацией, импликация - дизъюнкцией, дизъюнкция - конъюнкцией, и наоборот.

Например: (p &q ) равносильно «не-(p → не-q )» и равносильно «не-(не-p v не-q )»;

(p v q ) равносильно не-(не-p & не-q );

(p → q ) равносильно (не-p vq ); (p ≡q ) равносильно ((не- p v q ) & (не-p v q )).

Сложное суждение может не только состоять из нескольких простых суждений, но и включать в себя несколько логических связок: (p&q) → p. Чтобы установить истинность такого суждения, необходимо установить главный логический союз, указывающий на вид суждения, и построить соответствующую таблицу истинности.

Сложные логические выражения

Сложные логические выражения складываются из нескольких сложных суждений, связанных с помощью логических операций. При составлении данных таблиц истинности необходимо учитывать последовательность: 1)инверсия 2)конъюнкция 3)дизъюнкция 4)импликация 5)эквивалентность . Для изменения указанного порядка используют скобки !

Существует также определённый алгоритм составления таких таблиц:

Определить количество строк , которое будет в таблице.

2 n + 2 , где n – количество простых высказываний.

Определить количество столбцов , которое будет в таблице.

Для этого применяется функция: k + n , где k – количество разных логических операций, входящих в сложное высказывание.

Заполнить первые n столбцов.

Заполнить остальные столбцы. В соответствии с таблицами истинности соответствующих логических операций, причем при заполнении каждого столбца операции выполняются над значениями одного или двух столбцов, расположенных левее заполняемого.

Понятие сложных суждений неразрывно связано с конъюнкцией, дизъюнкцией, импликацией, эквиваленцией и отрицанием. Это так называемые логические связки. Они используются в качестве объединяющего звена, привязывающего одно простое суждение к другому. Именно так образуются сложные суждения. То есть сложные суждения – это суждения, созданные из двух простых.

Конъюнкция (a^b) – это способ связи простых суждений в сложные, при котором истинность полученного суждения напрямую зависит от истинности составных. Истинность таких суждений достигается только тогда, когда оба простых суждения (и a, и b) так же истинны. Если хотя бы одно из данных суждений ложно, то ложным следует признать и образованное из них новое, сложное суждение. Например, в суждении «Этот автомобиль очень качественный (a) и пробежал всего десять тысяч метров (b)» истинность зависит как от его правой стороны, так и от левой. Если оба простых суждения истинны, то истинно и сложное, образованное из них. В противном случае (если хотя бы одно из простых суждений ложно) оно является ложным.

Дизъюнкция (a Ъ b) бывает строгой и нестрогой. Отличие между этими двумя видами дизъюнкции состоит в том, что при нестрогом виде члены ее не исключают друг друга. Примером нестрогой дизъюнкции может быть: «Для получения заготовки деталь можно довести на станке (a) или предварительно обработать напильником (b)». Очевидно, что здесь а не исключает b и наоборот. Истинность подобного сложного суждения зависит от истинности его членов следующим образом: если ложны оба члена, ложным признается и образованное при их посредстве дизъюнктивное суждение. Однако, если ложно только одно простое суждение, такая дизъюнкция признается истинной.

Эквивалентнция характеризуется тем, что образованное сложное суждение истинно только в тех случаях, когда истинны оба простых суждения, входящих в его состав, и ложно при ложности обоих этих суждений. В буквенном выражении эквивалентность выглядит как a є b.

При отрицании суждения, отображающееся как a, истинно тогда, когда ложно отрицаемое понятие. Это связано с тем, что отрицание и отрицаемое простое суждение не только противоречат, но и исключают (отрицают) друг друга. Таким образом, получается, что, когда истинно понятие a, ложно понятие a. И наоборот, если ложно a, то отрицающее его a является истинным.

Импликация (a ® b) истинна во всех случаях, кроме одного. Другими словами, если оба входящих в импликацию простых суждения истинны или ложны либо если ложно суждение a, импликация истинна. Однако при ложности суждения b ложным становится и сама импликация. Это можно рассмотреть на примере: «Мы бросим исправный патрон в костер (a), он взорвется (b)». Очевидно, что если первое суждение верно, то верно и второе, так как взрыв патрона, брошенного в костер, произойдет с неизбежностью.

Простые суждения

Сложные суждения - суждения, составными частями которых являются простые суждения или их сочетания. Сложное суждение может рассматриваться как образование из нескольких исходных суждений, соединенных в рамках данного сложного суждения логическими союзами (связками). От того, при помощи какого союза связываются простые суждения, зависит логическая особенность сложного суждения.

Состав простого суждения

Простое (атрибутивное) суждение - это суждение о принадлежности предметам свойств (атрибутов), а также суждения об отсутствии у предметов каких-либо свойств. В атрибутивном суждении могут быть выделены термины суждения - субъект, предикат, связка, квантор.

Субъект суждения - это мысль о каком-то предмете, понятие о предмете суждения (логическое подлежащее).

Предикат суждения - мысль об известной части содержания предмета, которое рассматривается в суждении (логическое сказуемое).

Логическая связка - мысль об отношении между предметом и выделенной частью его содержания (иногда только подразумевается).

Квантор - указывает, относится ли суждение ко всему объёму понятия, выражающего субъект, или только к его части: «некоторые», «все» и т. п.

Состав сложного суждения

Сложные суждения состоят из ряда простых («Человек не стремится к тому, во что не верит, и любой энтузиазм, не подкрепляясь реальными достижениями, постепенно угасает»), каждое из которых в математической логике обозначается латинскими буквами (A, B, C, D… a, b, c, d…). В зависимости от способа образования различают конъюнктивные, дизъюнктивные, импликационные, эквивалентные и отрицательные суждения.

Дизъюнктивные суждения образуются с помощью разделительных (дизъюнктивных) логических связок (аналогичных союзу «или»). Подобно простым разделительным суждениям, они бывают:

нестрогими (нестрогая дизъюнкция), члены которой допускают совместное сосуществование («то ли…, то ли…»). Записывается как;

строгими (строгая дизъюнкция), члены которой исключают друг друга (либо одно, либо другое). Записывается как.

Импликационные суждения образуются с помощью импликации, (эквивалентно союзу «если …, то»). Записывается как или ab . В естественном языке союз «если …, то» иногда является синонимом союза «а» («Погода изменилась и, если вчера было пасмурно, то сегодня не одной тучи») и, в таком случае, означает конъюнкцию.

Конъюнктивные суждения образуются с помощью логических связок сочетания или конъюнкции (эквивалентно запятой или союзам «и», «а», «но», «да», «хотя», «который», «зато» и другим). Записывается как.

Эквивалентные суждения указывают на тождественность частей суждения друг другу (проводят между ними знак равенства). Помимо определений, поясняющих какой-либо термин, могут быть представлены суждениями, соединенными союзами «если только», «необходимо», «достаточно» (например: «Чтобы число делилось на 3, достаточно, чтобы сумма цифр, его составляющих, делилась на 3»). Записывается как (у разных математиков по-разному, хотя математический знак тождества всё-таки).

Отрицательные суждения строятся с помощью связок отрицания «не». Записываются либо как a ~ b, либо как a b (при внутреннем отрицании типа «машина не роскошь»), а также с помощью черты над всем суждением при внешнем отрицании (опровержении): «не верно, что …» (a b).

Классификация простых суждений

По качеству

Утвердительные

Отрицательные

По объёму

Общие

Частные

По отношению

Категорические - суждения, в которых сказуемое утверждается относительно субъекта без ограничений во времени, в пространстве или обстоятельствах; безусловное суждение (S есть P). Пример: «Все люди смертны».

Условные - суждения, в которых сказуемое ограничивает отношение каким-либо условием (Если А есть В, то С есть D). Пример: «Если дождь пойдет, то почва будет мокрая». Для условных суждений

Основание - это (предыдущее) суждение, которое содержит условие.

Следствие - это (последующее) суждение, которое содержит следствие.

По отношению между подлежащим и сказуемым

Логический квадрат, описывающий отношения между категорическими суждениями

Субъект и предикат суждения могут быть распределены (индекс «+») или не распределены (индекс «-»).

Распределено - когда в суждении подлежащее (S) или сказуемое (P) берется в полном объеме.

Не распределено - когда в суждении подлежащее (S) или сказуемое (P) берется не в полном объёме.

Суждения А (обще-утвердительные суждения) Распределяет свое подлежащее (S), но не распределяет свое сказуемое (P)

Объем подлежащегосказуемого (Р)

Прим.: «Все рыбы суть позвоночные»

Объемы подлежащего и сказуемого совпадают

Прим.: «Все квадраты суть параллелограммы с равными сторонами и равными углами»

Суждения Е (обще-отрицательные суждения) Распределяет как подлежащее (S), так и сказуемое (P)

В этом суждении мы отрицаем всякое совпадение между подлежащим и сказуемым

Прим.: «Ни одно насекомое не есть позвоночное»

Суждения I (частно-утвердительные суждения) Ни подлежащие (S), ни сказуемые (P) не распределены

Часть класса подлежащего входит в класс сказуемого.

Прим.: «Некоторые книги полезны»

Прим.: «Некоторые животные суть Позвоночные»

Суждения О (частно-отрицательные суждения) Распределяет свое сказуемое (Р), но не распределяет свое подлежащее (S) В этих суждениях мы обращаем внимание на то, что есть несовпадающего между ними (заштрихованная область)

Прим.: «Некоторые животные не суть позвоночные (S)»

Прим.: «Некоторые змеи не имеют ядовитых зубов (S)»

Общая классификация:

общеутвердительные (A («Все S + суть P - »)

частноутвердительное (I ) - частное и утвердительное («Некоторые S - суть P - »)

общеотрицательное (E ) - общее и отрицательные («Ни один S + не суть P + »)

частноотрицательное (O ) - частное и отрицательное

Структура простого суждения. Три типа простого суждения.

Первый элемент называется субъектомсуждения. Субъект суждения выражает знание о предмете суждения, то есть то, о чём говорится в данном суждении. Сокращённо субъект суждения обозначается буквой S (от латинского слова Subjektum).

Вторым логическим элементом суждения является предикат суждения. Он выражает знание о признаке предмета суждения, то есть то, что говорится о субъекте суждения. Сокращённо предикат обозначается буквой P (от латинского слова predikatum). Предикат суждения является вторым необходимым элементом суждения. Третьим элементом суждения является связка. Она выражает отношение, которое устанавливается в суждении между субъектом и предикатом. Связка придаёт ограниченное единство и законченность всей форме суждения. Логическая связка между субъектом и предикатом имеет две формы . Она может быть либо утвердительной, либо отрицательной – в зависимости от того, приписывается предикат субъекту или нет. В русском языке связка как правило не высказывается, а подразумевается. Если мы говорим «Все люди – разумные существа», то S(все люди) и P(разумные существа) связываются с помощью тире; но в других случаях вместо слова «есть» могут использоваться «суть», «имеется» и топу подобное (имеется в виду утвердительная форма. Отрицательная форма выражается связкой «не есть», «не суть», «не имеется», «не является» и т.п.. Например, «Птицы не являются млекопитающими животными». Здесь опят мы видим все три элемента суждения.)

1)Суждения свойства(атрибутивные) - суждение, в котором утверждается или отрицается принадлежность свойства предмету. Например: «Роза красная», «Преступник должен быть наказан» и т. п.

2) Суждение отношения - суждение, в котором говорится о том, что определенные отношения имеют место (или не имеют места) между элементами двух, трех и т. д. предметов. Таковыми являются, например, суждения: «Москва больше Рязани», «Каждый следователь знает некоторого адвоката лучше, чем некоторого прокурора». В первом суждении утверждается, что отношение «больший» имеет место между Москвой и Рязанью, во втором утверждается, что отношение «знающий лучше, чем» имеет место между каждым следователем, некоторым адвокатом и некоторым прокурором.

Суждения об отношениях делятся на виды по количеству. Так, суждения о двухместных отношениях делятся по количеству на единично-единичные, обще-общие, частно-частные, единично-общие, единично-частные, обще-единичные, частно-единичные, обще-частные, частно-общие.

Примеры этих суждений: «Иванов выше Петрова» (единично-единичные). «Каждый студент нашей группы знает каждого преподавателя нашего факультета» (обще-общее). «Некоторые студенты нашей группы знают некоторых чемпионов мира» (частно-частное). «Иванов знает каждого студента первого курса филологического факультета» (единично-общее). «Иванов изучает некоторые науки» (единично-частное).

Простое суждение и его виды по качеству и количеству (A, I, E, O).

Простые суждения - суждения, составными частями которых являются понятия. Простое суждение можно разложить только на понятия.

По качеству

Утвердительные - S есть P. Пример: «Люди пристрастны к самим себе».

Отрицательные - S не есть P. Пример: «Люди не поддаются лести».

По объёму

Общие - суждения, которые справедливы относительно всего объёма понятия (Все S суть P). Пример: «Все растения живут».

Частные - суждения, которые справедливы относительно части объема понятия (Некоторые S суть P). Пример: «Некоторые растения суть хвойные».

общеутвердительные (A ) - одновременно общие и утвердительные («Все S + суть P - »)

частноутвердительное (I ) - частное и утвердительное («Некоторые S - суть P - ») Прим: «Некоторые люди имеют черный цвет кожи»

общеотрицательное (E ) - общее и отрицательные («Ни один S + не суть P + ») Прим: «Ни один человек не всеведущ»

частноотрицательное (O ) - частное и отрицательное («Некоторые S - не суть P + ») Прим: «Некоторые люди не имеют черного цвета кожи»

Логический квадрат. Отношения между суждениями по истинности и ложности.

ЛОГИЧЕСКИЙ КВАДРА́Т

схема, выражающая отношения с т. зр. истинности и ложности между общеутвердительным, общеотрицательным, частноутвердительным и частноотрицательным суждениями традиц. логики, имеющими один и тот же субъект и один и тот же предикат и обозначаемыми соответственно буквами А, Е, I, О (рис. 1); предложен в 11 в. Михаилом Пселлом.

Отношение п о д ч и н е н и я характеризуется тем, что истинность подчиняющего суждения (А или Е) обусловливает истинность соответствующего подчиненного суждения (I или О), а ложность подчиненного суждения обусловливает ложность подчиняющего суждения; отношение п о д п р о т и в н о с т и (субконтрарности) характеризуется тем, что ложность одного из подпротивных суждений обусловливает истинность другого.

Сложное суждение и его виды.

Сложные суждeния образуются из нескольких простых суждений. Таково, например, высказывание Цицерона: «Ведь если бы даже ознакомление с правом представляло огромную трудность, то и тогда сознание его великой пользы должно было бы побуждать людей к преодолению этой трудности».

В соответствии с функциями логических связок сложные суждения делятся на следующие виды.
Соединительные суждения (конъюнктивные) - это такие суждения, которые включают в качестве составных частей другие суждения - конъюнкты, объединяемые связкой «и». Например, «Осуществление прав и свобод человека и гражданина не должно нарушать права и свободы других лиц».

Разделительные (дизъюнктивные) суждения - включают в качестве составных частей суждения - дизъюнкты, объединяемые связкой «или». Например, «Истец вправе увеличить или уменьшить размер исковых требований».
Различают слабую дизъюнкцию , когда союз «или» имеет соединительно-разделительное значение, то есть входящие в сложное суждение составляющие не исключают друг друга. Например, «Договор купли-продажи может быть заключен в устной или письменной форме». Сильная дизъюнкция возникает, как правило, тогда, когда логические союзы «или», «либо» употребляются в исключающе-разделяющем смысле, то есть ее составляющие исключают друг друга. Например, «Клевета, соединенная с обвинением лица в совершении тяжкого или особо тяжкого преступления, наказывается ограничением свободы на срок до трех лет, либо арестом на срок от четырех до шести месяцев, либо лишением свободы на срок до трех лет».
Условные (импликативные) суждения образованы из двух простых суждений посредствам логического союза «если [...], то». Например, «Если по истечении срока временной работы с работником не был расторгнут договор, то он считается принятым на постоянную работу». Аргумент, начинающийся в импликативных суждениях словом «если», называется основанием, а составляющая, начинающаяся со слова «то» - следствием.
В условных суждениях отражаются прежде всего объективные причинно-следственные, пространственно-временные, функциональные и другие связи между предметами и явлениями действительности. Однако в практике применения законодательства в форме импликации могут также выражаться права и обязанности людей, связанные с теми или иными условиями. Например, «Военнослужащие воинских частей Российской Федерации, дислоцирующихся за пределами Российской Федерации, за преступления, совершенные на территории иностранного государства, несут уголовную ответственность по настоящему Кодексу, если иное не предусмотрено международным договором Российской Федерации» (п. 2 ст. 12 УК РФ).
При этом необходимо иметь в виду, что грамматическая форма «если [...], то» не является исключительным признаком условного суждения, она может выражать простую последовательность. Например, «Если исполнителем признается лицо, непосредственно совершившее преступление, то подстрекатель - это лицо, склонившее другое лицо к совершению преступления путем уговора, подкупа, угрозы или другим способом».
Сложные суждения, рассмотренные из методических соображений по отдельности, в реальном процессе мышления используются в различном сочетании друг с другом, образуя порой весьма сложные мыслительные конструкции. Например: «Суд не принимает отказа истца от иска, признание иска ответчиком и не утверждает мирового соглашения сторон, если эти действия противоречат закону и нарушают чьи-либо права и охраняемые законом интересы». Здесь налицо соединение нескольких конъюнкций с дизъюнкцией и импликацией.

Выражение логических связок в естественном языке.

В мышлении мы оперируем не только простыми, но и сложными суждениями, образуемыми из простых посредством логических связок (или операций) - конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквиваленции, отрицания, которые также называются логическими константами, или логическими постоянными. Проанализируем, каким образом перечисленные логические связки выражаются в естественном (русском) языке.

Конъюнкция (знак «л») выражается союзами «и», «а», «но», «да», «хотя», «который», «зато», «однако», «не только..., но и» и др. В логике высказываний знак « л » соединяет простые высказывания, образуя из них сложные. В естественном языке союз «и» и другие слова, соответствующие конъюнкции, могут соединять существительные, глаголы, наречия, прилагательные и другие части речи. Например, «В корзине у деда лежали подберезовики и маслята» (aÙb), «Интересная и красиво оформленная книга лежит на столе». Последнее высказывание нельзя разбить на два простых, соединенных конъюнкцией: «Интересная книга лежит на толе» и «Красиво оформленная книга лежит на столе», - так как создается впечатление, что на столе лежат две книги, а не одна.

В логике высказываний действует закон коммутативности конъюнкции (aÙb)º(bÙa). В естественном русском языке такого закона нет, так как действует фактор времени. Там, где учитывается последовательность во времени, употребление союза «и» некоммутативно. Поэтому не будут эквивалентными, например, такие два высказывания: 1) «Прицепили паровоз, и поезд тронулся» и 2) «Поезд тронулся, и прицепили паровоз».

В естественном языке конъюнкция может быть выражена не только словами, но и знаками препинания: запятой, точкой с запятой, тире. Например, «Сверкнула молния, загремел гром, пошел дождь».

О выражении конъюнкции средствами естественного языка пишет С. Клини в своей книге «Математическая логика». В разделе «Анализ рассуждений» он приводит (не исчерпывающий) список выражений естественного языка, которые могут быть заменены символами « Л » или «&». Формула А ^ В в естественном языке может выражаться так:

«Не только А , но и В. Как А, так и В.

В, хотя и Л. А вместе с В.

В, несмотря на А. А , в то время как В» 7 .

Придумать примеры всех этих структур предоставляем читателю.

В естественном (русском) языке дизъюнкция (обозначенная aÚb и aÚb) выражается союзами: «или», «либо», «то ли... то ли» и др. Например, «Вечером я пойду в кино или в библиотеку»; «Это животное принадлежит либо к позвоночным, либо к беспозвоночным»; «Доклад будет то ли по произведениям Л. Н. Толстого, то ли по произведениям Ф. М. Достоевского».

Для обоих видов дизъюнкции действует закон коммутативности: (aÚbº(bÚa) и (aÚb)º(bÚa). В естественном языке эта эквивалентность сохраняется. Например, суждение «Я куплю масло или хлеб» эквивалентно суждению «Я куплю хлеб или масло». С. Клини показывает, какими разнообразными способами могут быть выражены в естественном языке импликация (AÊB) и эквиваленция (A ~B ).

(Буквами А и В обозначены переменные высказывания.)

Закон тождества.

Закон тождества.

Этот закон формулируется так: «В процессе определенного рассуждения всякое понятие и суждение должны быть тожественными самим себе».

В математической логике закон тождества выражается следующими формулами:

A=A (равно это три параллельные линии)

Тождество есть равенство, сходство предметов в каком-либо отношении.Например, все жидкости тождественны в том, что они теплопроводны, упруги. Каждый предмет тождественен самому себе.Но реально тождество существует в связи с различием.Нет и не может быть двух абсолютно тождественных вещей(двух листочков дерева).Вещь вчера и сегодня и тождественна,и различна.

Отождествление(или идентификация) широко используется в следственной практике, например, при опознании предметов, людей, отпечатков пальцев0

Закон непротиворечия.

Закон непротиворечия (закон противоречия ) - 1"закон логики, который гласит, что два 1"несовместимых (противоречащих либо противоположных) суждения не могут быть одновременно истинными. По крайней мере одно из них необходимо ложно.7 %E 0 %EA%EE%ED_%EF%F 0 %EE%F 2 %E 8 %E 2 %EE%F 0 %E 5 %F 7 %E 8 %FF"

Математическая запись

где - знак конъюнкции, - знак отрицания.

Закон противоречия является фундаментальным логическим законом, на котором построена вся современная математика. Он является тавтологией классической логики, а также большинства 1"неклассических логик, в том числе интуиционистской логики. Все же, существуют 1"нетривиальные 1"логические системы, в которых он не соблюдается, например 1"логика HYPERLINK "http://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=Логика_Клини&action=edit&redlink=1"Клини.Закон противоречия говорит о том, что если одно суждение что-то утверждает, а другое то же самое отрицает об одном и том же объекте, в одно и то же время и в одном и том же отношении, то они не могут быть одновременно истинными. Например, два суждения: «Сократ высокий», «Сократ низкий» (одно из них нечто утверждает, а другое то же самое отрицает, ведь высокий - это не низкий, и наоборот), - не могут быть одновременно истинными, если речь идет об одном и том же Сократе, в одно и то же время его жизни и в одном и том же отношении, то есть если Сократ по росту сравнивается не с разными людьми одновременно, а с одним человеком. Понятно, что когда речь идет о двух разных Сократах или об одном Сократе, но в разное время его жизни, например в 10 лет и в 20 лет, или один и тот же Сократ и в одно и то же время его жизни рассматривается в разных отношениях, например он сравнивается одновременно с высоким Платоном и низким Аристотелем, тогда два противоположных суждения вполне могут быть одновременно истинными, и закон противоречия при этом не нарушается. Символически он выражается следующей тождественно-истинной формулой: (а Λ а), (читается: «Неверно, что а и не а»), где а - это какое-либо высказывание.

Закон исключенного третьего.

Закон исключённого третьего (лат. tertium non datur , то есть «третьего не дано») - закон классической логики, состоящий в том, что из двух высказываний - «А» или «не А» - одно обязательно является истинным, то есть два суждения, одно из которых является отрицанием другого, не могут быть одновременно ложными (либо истинными), одно из них необходимо истинно, а другое ложно. Закон исключённого третьего является одним из основополагающих принципов современной математики.

С интуиционистской (и, в частности, конструктивистской) точки зрения, установление истинности высказывания вида «А или не А» означает установление истинности A или истинности его отрицания, . Поскольку не существует общего метода, позволяющего для каждого высказывания за конечное число шагов установить его истинность или истинность его отрицания, закон исключённого третьего подвергается критике со стороны представителей интуиционистского и конструктивного направлений в основаниях математики.

Закон достаточного основания.

Принцип Достаточного Основания - это принцип, требующий, чтобы в случае каждого утверждения указывались убедительные основания, в силу которых оно принимается и считается истинным.

Этот закон формулируется так: «Всякая истинная мысль должна быть достаточно обоснованной».

Речь идет об обосновании только истинных мыслей: ложные мысли обосновывать нельзя, и нечего пытаться «обосновать» ложь, хотя нередко отдельные люди пытаются это сделать.

Формулы для этого закона нет. Ибо он имеет содержательный характер.Иногда в книгах для выражения этого закона дается формула (aàb).

Общая характеристика умозаключения как формы мышления.

Умозаключения, как и понятия и суждения, являются формой абстрактного мышления.С помощью многообразных видов умозаключений опосредовано(то есть не обращаясь к органам чувств)мы можем получать новые знания.Умозаключать можно при наличии одного или нескольких суждений (называемых посылками ),поставленных во взаимную связь.Пример:

Все углероды горючи.

Алмаз-углерод.

алмаз горюч Заключение

Умозаключение-форма мышления, в которой из одного или нескольких суждений на основании определенных правил вывода получается новое суждение, с необходимостью или определенной степенью вероятности следующее из них.

Умозаключения делятся на такие виды: дедуктивные, индуктивные, по аналогии. Различают умозаключения, которые могут быть логически необходимыми,то есть давать истинное заключение, а лишь с определенной степенью вероятности следующее из данных посылок (при этом в качестве посылок могут быть и ложные суждения).

Процесс получения заключений из посылок по правилам дедуктивных умозаключений называется выведением следствий.

Дедукция. Выводы из сложных высказываний.

Дедукция (0%9B%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BD%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D1%8F%D0%B7%D1%8B%D0%BA"лат. deductio - выведение) - метод мышления, при котором частное положение логическим путем выводится из общего, вывод по правилам логики; цепь умозаключений (рассуждений), звенья которой (высказывания) связаны отношением логического следования.

Началом (посылками) дедукции являются 0%90%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BE%D0%BC%D0%B0"аксиомы, 0%9F%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%83%D0%BB%D0%B0%D1%82"постулаты или просто 0%93%D0%B8%D0%BF%D0%BE%D1%82%D0%B5%D0%B7%D0%B0"гипотезы, имеющие характер общих утверждений («общее»), а концом - следствия из посылок, 0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0"теоремы («частное»). Если посылки дедукции истинны, то истинны и ее следствия. Дедукция - основное средство доказательства. Противоположно 0%98%D0%BD%D0%B4%D1%83%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_%28%D1%84%D0%B8%D0%BB%D0%BE%D1%81%D0%BE%D1%84%D0%B8%D1%8F%29"индукции.

Пример дедуктивного умозаключения:

Все люди смертны.

Сократ - человек.

Следовательно, Сократ смертен.

Превращение-вид непосредственного умозаключения, при котором изменяется качество посылки без изменения ее количества.При этом утвердительные суждения переходят переходят в отрицательные, и наоборот.

все волки-хищные животные --> ни один волк не является нехищным животным (AE)

Ни одна ель не является лиственным деревом.-->Все ели являются нелиственными деревьями(ЕA)

Некоторые грибы съедобны-> Некоторые грибы не являются несъедобными(IO)

2.6. Сложное суждение

В зависимости от союза, с помощью которого простые суждения соединяются в сложные, выделяется пять видов сложных суждений:

1. Конъюнктивное суждение (конъюнкция) двух простых суждений, можно представить в виде формулы: a b (читается «a и b »), где a и b – это два каких-либо простых суждения. Например, сложное суждение: «Сверкнула молния, и загремел гром », – является конъюнкцией (соединением) двух простых суждений: «Сверкнула молния», «Загремел гром» . Конъюнкция может состоять не только из двух, но и из большего числа простых суждений. Например: «Сверкнула молния, и загремел гром, и пошёл дождь (a b c )».

2. Дизъюнктивное суждение (дизъюнкция) – это сложное суждение с разделительным союзом «или». Вспомним, что, говоря о логических операциях сложения и умножения понятий, мы отмечали неоднозначность этого союза – он может использоваться как в нестрогом (неисключающем) значении, так и в строгом (исключающем). Неудивительно поэтому, что дизъюнктивные суждения делятся на два вида:

1. Нестрогая дизъюнкция трогое дизъюнктивное суждение, состоящее из двух простых суждений, можно представить в виде формулы: a b (читается «a или b »), где a и b Он изучает английский, или он изучает немецкий », – является нестрогой дизъюнкцией (разделением) двух простых суждений: «Он изучает английский», «Он изучает немецкий». Эти суждения друг друга не исключают, ведь возможно изучать и английский, и немецкий одновременно, поэтому данная дизъюнкция является нестрогой.

2. Строгая дизъюнкция – это сложное суждение с разделительным союзом «или» в его строгом (исключающем) значении, который обозначается условным знаком « ». С помощью этого знака строгое дизъюнктивное суждение, состоящее из двух простых суждений, можно представить в виде формулы: a b (читается «или a , или b »), где a и b – это два простых суждения. Например, сложное суждение: «Он учится в 9 классе, или он учится в 11 классе », – является строгой дизъюнкцией (разделением) двух простых суждений: «Он учится в 9 классе», «Он учится в 11 классе» . Обратим внимание на то, что эти суждения друг друга исключают, ведь невозможно одновременно учиться и в 9, и в 11 классе (если он учится в 9 классе, то точно не учится в 11 классе, и наоборот), в силу чего данная дизъюнкция является строгой.

Как нестрогая, так и строгая дизъюнкции могут состоять не только из двух, но и из большего числа простых суждений. Например: « », «Он учится в 9 классе, или он учится в 10 классе, или он учится в 11 классе (a b c) ».

3. Импликативное суждение (импликация) – это сложное суждение с условным союзом «если … то», который обозначается условным знаком «->». С помощью этого знака импликативное суждение, состоящее из двух простых суждений, можно представить в виде формулы: a -> b (читается «если a , то b »), где a и b – это два простых суждения. Например, сложное суждение: «Если вещество является металлом, то оно электропроводно », – представляет собой импликативное суждение (причинно-следственную связь) двух простых суждений: «Вещество является металлом», «Вещество электропроводно» . В данном случае эти два суждения связаны таким образом, что из первого вытекает второе (если вещество – металл, то оно обязательно электропроводно), однако из второго не вытекает первое (если вещество электропроводно, то это вовсе не означает, что оно является металлом). Первая часть импликации называется основанием , а вторая – следствием ; из основания вытекает следствие, но из следствия не вытекает основание. Формулу импликации: a -> b , можно прочитать так: «если a , то обязательно b , но если b , то не обязательно a ».

4. Эквивалентное суждение (эквиваленция) – это сложное суждение с союзом «если … то» не в его условном значении (как в случае с импликацией), а в тождественном (эквивалентном). В данном случае этот союз обозначается условным знаком « », с помощью которого эквивалентное суждение, состоящее из двух простых суждений, можно представить в виде формулы: a b (читается «если a , то b , и если b , то a »), где a и b – это два простых суждения. Например, сложное суждение: «Если число является чётным, то оно делится без остатка на 2 », – представляет собой эквивалентное суждение (равенство, тождество) двух простых суждений: «Число является чётным», «Число делится без остатка на 2» . Нетрудно заметить, что в данном случае два суждения связаны так, что из первого вытекает второе, а из второго – первое: если число чётное, то оно обязательно делится без остатка на 2, а если число делится без остатка на 2, то оно обязательно чётное. Понятно, что в эквиваленции, в отличие от импликации, не может быть ни основания, ни следствия, т. к. две её части являются равнозначными суждениями.

5. Отрицательное суждение (отрицание) – это сложное суждение с союзом «неверно, что…», который обозначается условным знаком «¬». С помощью этого знака отрицательное суждение можно представить в виде формулы: ¬a (читается «неверно, что a »), где a – это простое суждение. Здесь может возникнуть вопрос – где же вторая часть сложного суждения, которую мы обычно обозначали символом b ? В записи: ¬a , уже присутствуют два простых суждения: a – это какое-то утверждение, а знак «¬» – его отрицание. Перед нами как бы два простых суждения – одно утвердительное, другое – отрицательное. Пример отрицательного суждения: «Неверно, что все мухи являются птицами ».

Итак, мы рассмотрели пять видов сложных суждений: конъюнкцию, дизъюнкцию (нестрогую и строгую), импликацию, эквиваленцию и отрицание.

Союзов в естественном языке много, но все они по смыслу сводятся к рассмотренным пяти видам, и любое сложное суждение относится к одному из них. Например, сложное суждение: «Уж полночь близится, а Германа всё нет », – является конъюнкцией, потому что в нём союз «а » употребляется в роли соединительного союза «и». Сложное суждение, в котором вообще нет союза: «Посеешь ветер, пожнёшь бурю », – является импликацией, т. к. два простых суждения в нём связаны по смыслу условным союзом «если…то».

Любое сложное суждение является истинным или ложным в зависимости от истинности или ложности входящих в него простых суждений. Приведена табл. 6 истинности всех видов сложных суждений в зависимости от всех возможных наборов истинностных значений двух входящих в них простых суждений (таких наборов всего четыре): оба простых суждения истинные; первое суждение истинное, а второе ложное; первое суждение ложное, а второе истинное; оба суждения ложные).

Как видим, конъюнкция истинна только тогда, когда истинны оба входящих в неё простых суждения. Надо отметить, что конъюнкция, состоящая не из двух, а из большего числа простых суждений, также истинна только в том случае, когда истинны все входящие в неё суждения. Во всех остальных случаях она является ложной. Нестрогая дизъюнкция, наоборот, истинна во всех случаях за исключением того, когда оба входящих в неё простых суждения ложны. Нестрогая дизъюнкция, состоящая не из двух, а из большего числа простых суждений, также ложна только тогда, когда ложны все входящие в неё простые суждения. Строгая дизъюнкция истинна только тогда, когда одно входящее в неё простое суждение истинно, а другое ложно. Строгая дизъюнкция, состоящая не из двух, а из большего числа простых суждений, истинна только в том случае, если истинно только одно из входящих в неё простых суждений, а все остальные ложны. Импликация ложна только в одном случае – когда её основание является истинным, а следствие ложным. Во всех остальных случаях она истинна. Эквиваленция истинна тогда, когда два составляющих её простых суждения истинны или когда оба являются ложными. Если одна часть эквиваленции истинна, а другая ложна, то эквиваленция ложна. Проще всего определяется истинность отрицания: когда утверждение истинно, его отрицание ложно; когда утверждение ложно, его отрицание истинно.

Сложные суждения – это суждения, образованные их простых посредством той или иной логической связи. Структура сложных суждений отличается от структуры простых суждений. Основными структурообразующими элементами здесь выступают не понятия (термины – субъект и предикат), асамостоятельные простыесуждения , внутренняя субъектно-предикатная структура которых уже не учитывается.Связь между элементами сложного суждения осуществляется с помощью логических союзов : «и », «или »; «если...то... »; «если и только если..., то »; «неверно, что... », которые близки к соответствующим грамматическим союзам, но полностью с ними не совпадают. Главное их отличие состоит в том, что логические союзы однозначны, тогда как грамматические союзы имеют множество смыслов и оттенков.

Эти типы связи простых суждений выражаются соответствующими логическими связками: конъюнкцией («и»),дизъюнкцией («или»),строгой дизъюнкцией («либо, ...либо»),импликацией («если..., то»),эквиваленцией (тогда и только тогда, когда...»,отрицанием («неверно, что...»). Логические связки обозначают символами:~ соответственно. Каждый из этих логических союзов, за исключением отрицания, является бинарным, т.е. соединяет только два суждения, независимо от того простые они или сами, в свою очередь, сложные, имеющие внутри себя собственные союзы.

Сложные суждения рассматриваются в логике только с точки зрения их истинностных значений, которые зависят от истинностных значений простых суждений, входящих в него, а также от характера связи этих суждений. Характер связи определяется смыслом логических союзов , который состоит в ответе на вопрос: при каких условиях сложное суждение будет истинно, а при каких – ложно. Иначе говоря, при каких сочетаниях истинности и ложности простых суждений, входящих в сложное, данный логический союз дает истинную связь, а при каких - ложную. Смысл логических союзов можно определить с помощью, так называемойистинностной таблицы , в которойна входе (см. Табл.1, столбцы 1,2) выписываютсявсе возможные комбинации истинностных значений простых суждений (входящих в рассматриваемое сложное), ана выходе (Таблица 1 – столбцы 3 – 9) –значения сложного суждения, образованного из данных простых с помощью соответствующего логического союза . При этом, исходные простые суждения обозначают буквами:А,В,С, D ..., а значения истинности символами: «и » - истино; «л » - ложно.

Таблица 1.

			АВ	АВ	АВ	А В	А В

Виды сложных суждений

По характеру логической связи выделяют пять основных видов сложных суждений: соединительные (конъюнктивные), разделительные (дизъюнктивные), условные (импликативные), эквивалентные, отрицаемые.

Соединительное иликонъюнктивное суждение – это сложное суждение, образованное из исходных суждений посредством логического союза «и», обозначаемого символом «». Например, суждение: «Сегодня я пойду на лекцию по логике и в кино» является конъюнктивным суждением, состоящим из двух простых суждений (обозначим их соответственно –А ,В ): : «Сегодня я пойду на лекцию по логике» (А ), «Сегодня я пойду в кино» (В ). Символически данное сложное суждение можно записать как:АВ , гдеА , В – элементы конъюнкции; «» - символ логического союза – конъюнкции. В русском языке конъюнктивный логический союз выражается многими грамматическими союзами: и, а, но, да, хотя, однако, а также... Нередко подобные грамматические союзы заменяются запятой, двоеточием, точкой с запятой. Например, в суждении «Русские долго запрягают, да быстро ездят».

Конъюнктивное суждение истинно только при истинности всех составляющих его элементов иложно при ложности хотя бы одного из них (см. табл.1 – столбец 3).

Знание особенностей истинностного значения конъюнкции имеет особое значение в практике мышления, т.к. достаточно одного ложного суждения, чтобы придать всей, даже весьма сложной, конъюнктивной мысли ложность. Этот факт лежит в основе многих русских пословиц, например, о том, что делает ложка дегтя в бочке меда. Эту особенность важно учитывать в юридической практике, в дискуссиях – когда выстраивается сложная цепь мыслей, которая при одном ложном звене может распасться. С другой стороны, достаточно обнаружить хотя бы один ложный аргумент в доводах оппонента, чтобы опровергнуть все его рассуждение в целом.

Разделительное или дизъюнктивное суждение – это сложное суждение, образованное из исходных суждений посредством логического союза «или», обозначаемого символом «». Например, суждение: «Право может способствовать экономическому развитию или препятствовать ему» является дизъюнктивным суждением, состоящим из двух простых: «Право может способствовать экономическому развитию», «Право может препятствовать экономическому развитию». Соответственно обозначив их через буквыА ,В – выделим его логическую форму:АВ.

Поскольку связка «или» употребляется в двух разных значениях – неисключающем и исключающем, то различают слабую и сильную дизъюнкции соответственно. Выше приведенный пример является слабой дизъюнкцией, т.к. право одновременно в одном отношении может способствовать развитию экономики, но препятствовать в другом.Слабая дизъюнкция являетсяистинной в тех случаях,когда истинно по крайней мере одно из составляющих ее суждений (или оба вместе) и ложна , когда оба составляющих ее суждения ложны (Табл.1 – столбец 4).

Сильная дизъюнкция (символ «») отличается от слабой тем, что ее составляющие исключают друг друга. Например: «Преступление может быть умышленным или по неосторожности». Для того, чтобы подчеркнуть строго разделительный, исключающий характер связи, в естественном языке используется усиленная двойная форма разделения: «...либо...либо», «или...или», например: «Либо я найду путь, либо я проложу его».Строгая дизъюнкция истинна лишь тогда, когда одно из составляющих ее суждений истинно, а другое – ложно (Табл. 1 – столбец 5).

Среди дизъюнктивных суждений следует различать также полную и неполную дизъюнкцию, когда соответственно: перечисленывсе признаки, виды определенного рода или это перечисление остается открытым (неполным) , что в естественном языке выражается словами: «и т.д.», «и др.».

Дизъюнктивные суждения широко распространены в практике мышления. Именно в них выражается логическая операция деления.

Условное или импликативное суждение – это сложное суждение, в котором суждения объединяются логическим союзом «если..., то» (символ «
»), например: «Если правительство нарушает закон, то порождает неуважение к нему», «Если число делится на 2 без остатка, то оно четное». Условное суждение состоит из двух составляющих его суждений. Суждение, выраженное после слова «если» называетсяоснованием или антецедентом (предыдущим), а суждение – после слова «то» называетсяследствием или консеквентом (последующим). Формула условного суждения:А
В , гдеА – основание,В – следствие. При этом, суждения, выполняющие роль основания и следствия, сами по себе могут быть как простыми, так и сложными суждениями.

Образуя условное суждение, прежде всего, имеют в виду, что не может быть так, чтобы то, о чем говорится в основании имело место, а то, о чем говорится в следствии отсутствовало. Иными словами, не может случится, чтобы антецедент был истинным, а консеквент – ложным. Это и определяет то, что условное суждение истинно во всех случаях, кроме одного: когда предшествующее есть, а последующего нет (т.е. – суждение по формеА
В – ложно только в одном случае, когдаА – истинно, аВ – ложно). Это выражено в таблице 1 – столбец 6.

В форме условных суждений выражают как объективные зависимости одних объектов от других, так и права и обязанности людей, связанные с теми или иными условиями.

Эквивалентное суждение – это сложное суждение, в котором объединяются суждения с взаимной условной зависимостью. Поэтому они также называются двойной импликацией. Они образуются с помощью логического союза «если и только если..., то», который обозначается символом «
». Формула эквивалентности:А
В, где А, В – суждения, из которых образуется эквивалентное суждение, например: «Человек имеет право на пенсию по возрасту, если и только если он достиг пенсионного возраста». В естественном языке, в том числе в экономических и юридических текстах, для выражения эквивалентных суждений используются грамматические союзы: «лишь при условии, что..., то», «только тогда, когда..., то», «в том и только в том случае, когда..., тогда».

Условия истинности эквивалентных суждений представлены в 7-ом столбце таблицы 1: эквивалентное суждениеистинно в двух случаях –когда оба составляющих его суждения истинны или когда оба ложны . Иными словами, связь (отношение) между элементами эквивалентного суждения можно охарактеризовать как необходимую: истинностьА достаточна для признания истинностиВ и наоборот; ложностьА служит показателем ложностиВ и наоборот.

Отрицаемое суждение – это сложное суждение, образованное с помощью логического союза «неверно, что... » (или просто «не»), который именуется знаком отрицания (символ «~»). В отличие от вышеотмеченных бинарных союзов он относится к одному суждению. Прибавление его к какому-либо суждению означает образование нового суждения, которое находится в определенной зависимости от исходного: отрицаемое суждение истинно, если исходное ложно, и наоборот. Это выражено в таблице1 – столбцы 8,9. Например, если исходное суждение: «Все свидетели правдивы», то отрицаемое: «Неверно, что все свидетели правдивы».

Все выделенные виды сложных суждений используются в обычных рассуждениях и контекстах, в том числе экономических и правовых. Для более точного уяснения смысла этих контекстов важно овладение навыками логического анализа сложных суждений с использованием символического языка для выражения их логической структуры. Часто для достижения определенности высказывания необходимо выявить главную связь в суждении. Например, высказывание «Преступление совершено А иВ илиС » не отличается определенностью, поскольку не ясно, какая из двух логических связок – конъюнкция или дизъюнкция – является главной. Поэтому данное высказывание может быть истолковано какконъюнктивное суждение (1): «А и (В илиС )», а может и какдизъюнктивное суждение (2): «(А иВ ) илиС ». Но по логической значимости, т.е. по их истинностному значению, они не эквиваленты. Это можно определить, построив для них истинностные таблицы, и по ним сравнить истинностные значения этих суждений.

С этой целью важно знать, как вообще строятся истинностные таблицы для различных сложных суждений. Осуществляется это следующим образом.

На входе таблицы :

Выписывают все простые суждения (А ,В ,С ,D ...), входящие в рассматриваемое сложное суждение. Пусть их число будетn .

Определяют число к строк в таблице по формулек =2 n

В столбцах входа таблицы выписывают все возможные комбинации истинностных значений простых суждений в следующем порядке: в самом правом столбце чередуют и ил по одному; во втором справа столбце чередуют подряд два значенияи и два значениял ; в третьем столбце чередуют подряд четыре значенияи и четыре значениял ; в четвертом столбце – восемь значенийи подряд и восемь значенийл подряд и т.д.

На выходе таблицы :

Слева направо выписывают логические формы всех сложных суждений, входящих в рассматриваемое суждение, по порядку: в начале суждения 1-ой степени сложности (т.е. с одним логическим знаком); затем 2-ой степени (с двумя логическими союзами); далее 3-ей степени (с тремя логическими союзами) и так до тех пор, пока последнее суждение не будет представлять логическую форму исходного сложного суждения.

Столбцы истинностных значений для выписанных логических форм образуют исходя из: (1) смысла логического союза (см. таблицу 1) и (2) значений истинности, которые принимают простые суждения, входящие в данную форму (см. строки входа таблицы).

Мы можем сравнить вышеотмеченные суждения (1) и (2). С этой целью теперь построим таблицу 2 для конъюнктивного суждения (1), выразив его символически как «А (В С )», итаблицу 3 для дизъюнктивного суждения (2), записав его символически как «(А В )С ».

Таблица 2						Таблица 3
			ВС	А(ВС)					АВ	(АВ)С
			ВС	А(ВС)					АВ	(АВ)С

Из таблиц 2 и 3 видно, что истинностные значения суждений (1) и (2) не одинаковы (в двух строках – когда одно ложно, другое истинно), и следовательно они не эквивалентны, и представляют суждения, выражающие различные связи между их структурными элементами.

Таким образом, для осуществления логического анализа формы сложных суждений необходимо записать их символически в виде формулы и построить соответствующие истинностные таблицы с последующим их сравнением.